Rectangle d'aire 12 cm^2

Partie A : préambule

Voici deux rectangles d'aire \(12 \ \text{cm}^2\). 

Déterminer la largeur et le périmètre de chacun des rectangles. Les comparer.

Partie B : conjecture

Le fichier de géométrie dynamique suivant montre un rectangle d'aire \(12 \ \text{cm}^2\). En modifiant la valeur de \(\text{AB}\), observer les variations du périmètre.
Conjecturer la valeur de \(\text{AB}\) qui rend le périmètre minimal.

Partie C : démonstration

Soit \(\text{ABCD}\) un rectangle d'aire \(12 \ \text{cm}^2\). On appelle \(L = \text{AB}\) et \(l=\text{BC}\).

1. Exprimer \(l\) en fonction de \(L\).
2. Soit \(p\) la fonction qui à toute valeur de \(L\) associe le périmètre du rectangle de longueur \(L\) et d'aire \(12 \ \text{cm}^2\). Montrer qu'on a \(p(L)=2L+\dfrac{24}{L}\).
3. Déterminer la fonction dérivée de \(p\) et dresser le tableau de variations de \(p\).
4. Pour quelle valeur de \(L\) le périmètre est-il minimal ? Que peut-on conclure ?

Partie D : généralisation

Généraliser l'étude précédente à un rectangle d'aire \(A\).
Il s'agit de démontrer la proposition suivante :
« Le périmètre d'un rectangle d'aire \(A\) est minimal lorsque ce rectangle est un carré. »